Cho hình chóp có đáy ABCD là hình chữ nhật. Lấy M, N lần lượt trên các SB, SD sao cho: .

1. Mặt phẳng (AMN) cắt cạnh SC tại P. Tính tỷ số .

2. Tính thể tích hình chóp theo thể tích V của hình chóp .

Cho góc tam diện vuông Oxyz. Trên Ox, Oy, Oz lấy lần lượt các điểm A, B, C có .

1. Chứng minh rằng tam giác ABC có 3 góc nhọn.

2. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Hãy tính OH theo a, b, c.

2. Chứng minh rằng bình phương diện tích của tam giác ABC bằng tổng bình phương diện tích các mặt còn lại của tứ diện .

Cho hình chóp tam giác , các cạnh còn lại đều bằng 1.

1. Tính thể tích hình chóp theo x,y.

2. Với x,y là giá trị nào thì thể tích hình chóp là lớn nhất?

Cho hình nón có đường cao h. Một mặt phẳng đi qua đỉnh S của hình nón tạo với mặt phẳng đáy hình nón một góc , đi qua hai đường sinh SA, SB của hình nón và cắt mặt đáy của hình nón theo dây cung AB, cung AB có số đo bằng . Tính diện tích thiết diện SAB.

Cho 2 nửa đường thẳng Ax và By vuông góc với nhau và nhận là đoạn vuông góc chung. Lấy điểm M trên Ax và điểm N trên By sao cho . Xác định tâm I và tính theo a bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABMN. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng AM và BI.

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, cạnh SB vuông góc với đáy (ABC). Qua B kẻ BH vuông góc với SA, BK vuông góc với SC. Chứng minh SC vuông góc với (BHK) và tính diện tích tam giác BHK biết rằng và .

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' với cạnh bằng a. Giả sử M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh A'D', D'C', C'C, AA'.

1. Chứng minh rằng 4 điểm M, N, P, Q cùng nằm trên một mặt phẳng. Tính chu vi của tứ giác MNPQ theo a.

2. Tính diện tích của tứ giác MNPQ theo a.

Cho tứ diện đều ABCD cạnh  bằng a.

1. Giả sử I là một điểm thay đổi ở trên cạnh CD. Hãy xác định vị trí của I để diện tích tam giác IAB là nhỏ nhất.

2. Giả sử M là một điểm thuộc cạnh AB. Qua điểm M dựng mặt phẳng song song với AC và BD. Mặt phẳng này cắt các cạnh AD, DC, CB lần lượt tại N, P, Q. Tứ giác MNPQ là hình gì? Hãy xác định vị trí của M để diện tích tứ giác MNPQ là lớn nhất.

Trong mặt phẳng có đường tròn tâm O , bán kính R và đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn (O,R) tại điểm A cố định . Từ điểm M nằm trên mặt phẳng và ngoài đường tròn (O,R) kẻ tiếp tuyến MT tới đường tròn (O,R) ( T là tiếp điểm ). Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên d .
Chứng minh rằng đường tròn tâm M có bán kính MT luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định khi M di động trên mặt phẳng sao cho: MT = MH

Cho tứ diện ABCD. Lấy M bất kỳ nằm trong mặt phẳng (ABD). Các mặt phẳng qua M lần lượt song song với các mặt phẳng (BCD); (CDA); (ABC) lần lượt cắt các cạnh CA, CB, CD tại A', B', C'. Xác định vị trí điểm M để biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất: